Quantenstatistik

Quạn|ten|sta|tis|tik 〈f. 20〉 statist. Behandlung sehr vieler Teilchen, die sich nach den Gesetzen der Quantentheorie bewegen

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Quạntenstatistik,

 

Verallgemeinerung der klassischen statistischen Mechanik auf Gesamtheiten mit quantenmechanischen Eigenschaften wie diskreten Energieniveaus, Übergangsamplituden und Nichtunterscheidbarkeit von identischen Teilchen (z. B. Elektronen oder Photonen). Wesentliche Abweichungen zwischen Quantenstatistik und klassischen Statistik treten insbesondere bei tiefen Temperaturen und hohen Teilchendichten auf (z. B. bei der Gasentartung). Je nach Spin der Teilchen muss dann die Bose-Einstein-Statistik (ganzzahliger Spin) oder die Fermi-Dirac-Statistik (halbzahliger Spin) verwendet werden, die beide im Grenzfall hoher Temperaturen (in der Regel bereits bei Raumtemperatur) in die klassische Boltzmann-Statistik übergehen. Die Quantenstatistik enthält die Möglichkeit der Bose-Einstein-Kondensation von Bose-Gasen und macht Aussagen über die Nullpunktsenergie von Fermi-Gasen. Zudem trägt sie entscheidend zum Verständnis der thermischen und magnetischen Eigenschaften der Materie (z. B. Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität, Dia-, Para- und Ferromagnetismus), der Dynamik wechselwirkender Vielteilchensysteme sowie auch astrophysikalische Prozesse bei und begründet den 3. Hauptsatz der Thermodynamik (nernstscher Wärmesatz).

 

Der formale Aufbau der Quantenstatistik erfolgt in Analogie zur klassischen Statistik, insbesondere die Verwendung statistischer Gesamtheiten und die Herleitung der thermodynamischen Zustandsgrößen aus den Zustandssummen. Der klassischen Verteilungsfunktion entspricht der Dichteoperator ρ, der alle quantenstatistischen Eigenschaften eines Systems repräsentiert. Ist das System in einem bestimmten, durch einen Zustandsvektor |iQuantenmechanik) beschriebenen Zustand, spricht man von einem »reinen« Zustand; kann es sich mit gewissen statistischen Wahrscheinlichkeiten p_i in verschiedenen Zuständen |i_i p_i = 1), handelt es sich um einen »gemischten« Zustand. Der Dichteoperator hat dann die Form ρ = ∑_i p_i |ii|.

 

Die Zeitabhängigkeit des Dichteoperators im Nichtgleichgewichtsfall ist durch die quantenmechanische Fassung der Liouville-Gleichung, die Von-Neumann-Gleichung, gegeben:

 

Dabei tritt an die Stelle der Poisson-Klammer der Kommutator von H (Hamilton-Operator des Systems) und ρ.

 

Literatur:

 

K. Huang: Statist. Mechanik, 3 Bde. (a. d. Engl., 1964);

 E. Fick u. G. Sauermann: Q. dynam. Prozesse, auf 3 Tle. ber. (Leipzig 1983 ff.);

 L. D. Landau u. E. M. Lifschitz: Statist. Physik, 2 Bde. (Berlin-Ost ^4-81987-92);

 G. Röpke: Statist. Mechanik für das Nichtgleichgewicht (1987).